Las dos operaciones principales de los números enteros son la suma y el producto. El producto también se conoce como multiplicación. Veamos primero una interpretación geométrica de la suma.

Para hallar la suma de y , dibujamos una recta numérica. Colocamos el lápiz en el y nos movemos unidades hacia la derecha, con lo que llegamos al .

Suma de y

Cuando a un número le sumamos un número positivo, entonces nos movemos hacia la derecha y cuando le sumamos un número negativo, entonces nos movemos hacia la izquierda.

Ejemplos

1. Sumar .

   Solución:

   Localizamos el y desde ahí nos movemos unidades hacia la izquierda, con lo que llegamos a Así que .

   
   
   
   
   Suma de y
   

2. Sumar

   Solución:

   Localizamos a y desde ahí nos movemos unidades hacia la izquierda, con lo que llegamos a . Así que .

   
   
   
   
   Suma de y
   

   Sería poco práctico tener que utilizar la recta numérica para poder sumar enteros positivos y negativos; las siguientes reglas nos permiten hacerlo de manera sencilla, usando lo aprendido en la escuela primaria.

Reglas para sumar números enteros

• Para sumar dos números enteros con el mismo signo:

1. Se suman los valores absolutos de los números, es decir, como si fueran positivos

2. Se determina el signo de la suma:

   a.

   Si ambos son positivos, la suma es positiva.

   b.

   Si ambos son negativos, la suma es negativa.

Ejemplo

• Sumar .

  Solución:

  Sumamos valores absolutos de los números: .

  La suma es negativa ya que ambos son negativos: .

• Para sumar dos números enteros de signo contrario:

1. Se restan los valores absolutos de los números: el menor del mayor.

2. El signo de la suma es el signo del sumando que tenga el mayor valor absoluto .

Ejemplos

1. Sumar .

   Solución:

   El valor absoluto de es , que es mayor que el de

   Restamos los valores absolutos: .

   La suma es negativa porque ; así, .

2. Sumar .

   Solución:

   El valor absoluto de es mayor que el de .

   Restamos los valores absolutos: .

   La suma es positiva porque ; así, .

Desde que aprendimos a sumar en la primaria, nos enseñaron que al sumar dos números, no importa el orden en el que los sumemos; así:

y al sumar más de dos números, lo que debemos hacer es agrupar dos de ellos, sumarlos y el resultado sumarlo al resto, por ejemplo: la suma la podemos realizar de las siguientes dos maneras:

y simplemente escribimos

También sabemos que sumar ''no hace nada'':

Propiedades de la suma de números enteros

A continuación se enlistan las propiedades de suma de los números enteros que acabamos de ejemplificar.

La suma de números enteros satisface las siguientes propiedades:

• Propiedad de cerradura: Si y son números enteros, entonces es un número entero.

• Propiedad conmutativa: Si y son números enteros, entonces .

• Propiedad asociativa: Si , y son números enteros, entonces .

• Existencia del neutro aditivo El número satisface la igualdad para cualquier número entero .

• Existencia del opuesto, inverso aditivo o simétrico Si es un número entero cualquiera, existe un único número entero al que llamamos , que satisface la igualdad .

Observaciones

• Los números naturales satisfacen todas las propiedades anteriores con excepción de la existencia del inverso aditivo, ya que, por ejemplo, el inverso aditivo de es , que no es un número natural.

• El símbolo significa el inverso aditivo de independientemente de que sea positivo o negativo. Así por ejemplo, como , entonces el inverso aditivo de es , pero también, el inverso aditivo de es , es decir, .

En general, si es un número entero, entonces

Ejemplos

1. El opuesto de es .

2. El opuesto de es .

3. El opuesto de es .

4. Verificar geométricamente la propiedad conmutativa con

   Solución:

   Localizamos y desde ahí nos movemos unidades a la derecha y llegamos a .

   Localizamos a y desde ahí nos movemos unidades a la izquierda y llegamos también a . Así

   
   
   

   
   

5. Verificar geométricamente la propiedad asociativa con , y

   Solución:

   Para sumar , a partir de nos movemos unidades a la derecha, llegamos a , y si desde ahí nos movemos unidades a la izquierda, llegamos a

   Para sumar , efectuamos primero , con lo que nos colocamos en y de ahí nos movemos unidades a la izquierda, con lo cual llegamos a . Ahora, si a partir de nos movemos unidad a la derecha, llegamos a Así que tenemos:

   

   
   
   

   
   
   

    

6. Verificar geométricamente las propiedades del neutro y del inverso aditivo con el número .

   Solución:

   Localizamos el y no nos movemos, entonces seguimos en el , así que

   

   
   
   
   
   
   
   

   Para ver la propiedad del opuesto, localizamos el y nos movemos unidades hacia la izquierda con lo que llegamos a , así:

   
   
   
   
   .

Las propiedades conmutativa y asociativa, así como las reglas anteriores nos permiten sumar más de dos números enteros.

Ejemplo

• Sumar .

  Solución:

  Aplicamos la propiedad conmutativa para poner todos los números positivos juntos y todos los números negativos juntos.



Sumamos por separado los números positivos y los números negativos siguiendo las reglas para sumar números del mismo signo:




sumamos estos resultados parciales



así,